[金融理財] 理財規劃系列-03 年金的計算

在上一篇提到了關於複利的概念，接著在這一篇要跟各位做介紹的是年金(Annuity)，什麼是年金呢?所謂的年金意思是說，相隔著相同的時間，取得或付出相同的金額，其必須要符合三項條件：

1. 每期所支付或收取的金額相同
2. 每次支付或收款所隔的時間固定
3. 每次支付或收款時計算複利一次

而依照各期支付或收取金額的時間點不同，又可以區分為普通年金(期末年金)、到期年金(期初年金)、遞延年金，而基本上到期年金及遞延年金的觀念都是由普通年金所衍伸出來的，在這邊我們就在解釋這幾個年金的差異。

1. 普通年金(Ordinary Annuity)，又稱期末年金
定期定額在"期末"的時候支付或收取一定金額的複利情況。

2. 到期年金(Annuity Due)，又稱期初年金
與普通年金不一樣的地方在於，到期年金是定期定額在"期初"的時候支付或收取一定金額的複利情況。兩者最大的差異就在一個是期初支付或收取，一個是在期末才支付或收取。

3. 遞延年金(Deferred Annuity)
遞延了幾期之後，才開始定期定額支付或收取一定金額的複利情況。其計算方式其實與普通年金相同，但要再考慮遞延期間所造成的複利效果。

透過上面的定義，接著再定義年金的終值與現值，在上一篇所提到的，終值的定義為在存入了一筆本金後，經過了某個固定的複利率及某個期數之後所得到的最終本金與利息總合，以普通年金來說，所謂的普通年金終值，與複利終值不一樣的地方在於，年金在每一期均有支付或收取的動作，所以也就是把每一期支付或收取的金額，按複利計算到最後一期末的本利和。

而普通年金終值怎麼計算呢?在這邊假設每期期末支付1元，共支付n期，且按利率i複利計算，則在n期之後的年金終值計算方式如下:

所以如果以每期期末支付或收取的金額為R，那麼以FV代表年金終值，則可以以下列公式計算:

那麼普通年金現值呢?從之前所定義的觀念，所謂的現值就是"經過某個固定的複利率及某個期數之後，得到本利和，再折算回目前的價值"，同樣的普通年金現值也是在經歷某期數的定期定額的收取或支付金額後，所得到的本利和，再折算為目前的價值。其若以每期期末支付或收取1元來表是的話，則的可以用下列公式表示:

而若以每期期末支付或收取的金額為R，以PV表示年金現值，則可以以下列公式計算:

接著是解釋到期年金終值與到期年金現值，由於到期年金與普通年金的差異僅在於到期年金為期初支付或收取，而普通年金為期末支付或收取，所以在計算上到期年金會比普通年金多上一筆本金，因此到期年金的計算公式其實就是比普通年金多複利一次，同樣的以n表期數，i表利率，以F’表示到期年金，F表示普通年金，則可以用下列公式表示:

同樣的方式，到期年金現值也可以用下列的方式表示:

最後舉一個實例，這個例子很新鮮，因為我剛好在今天早上，接到了一通信用卡公司所打來的電話，該電話在於推廣該信用卡公司與某人壽公司所共同合作的一個專案，其專案內容剛好就是每個月固定支付一定的金額，在幾年後就可以全數領回，且這期間也享有一定額度的醫療及死亡保險。只能說這個案子挺吸引人的，只是該推廣人員剛好遇到的是，才剛把利息與年金的觀念弄懂，正在寫筆記的我。在這邊也跟該推廣人員說聲不好意思。

在這個專案的內容為，如果我現在可以每天存59元，並且於每個月的信用卡卡費繳納該月的總金額，連續繳納15年，則我可以享有150萬的死亡保險，並且於15年後可以全數領回所繳納的費用。這個案例的行銷方法其實就是以每天只要存少少的59元就可以享受保額的利益來吸引客群。

在這邊姑且不去計算150萬的保險本身的價值，如果以案例中的每天存59元，且每個月按期繳納，那計算15年後的年金終值及年金現值又會是多少呢?在這邊以年利率1.5%去計算。

首先是每個月所繳納的費用為59元*30天等於1770元，此其實才為每期所繳納的費用。而一年有12個月，共15年，所以總期數為15年*12個月等於180期，每個月利率為1.5%除以12的月等於0.125%，套入公式，其年金終值就等於1770ＸF180,0.125%，等於1770*201.7174，等於357,039.8225元，若不計算利率，則為1770ＸF180,0等於318,600，意味著，若以年利率1.5%來計算，不考慮150萬保額的成本，則15年後，其實保險公司毛利為357,039.8225減318,600等於38,439.8225元。三萬八千多元。

那麼對於這樣的案例年金現值又是多少呢?也就是15年後的35萬多，以複利率1.5%來計算，相對於現在的金額又是多少呢?同樣的套入公式，所得到的結果為285,142.1509元，28萬5千多元。

總結，許多的保險或儲蓄型保單，其實在細細計算之後，再加上複利的關係進去，就會發現為什麼保險公司會賺錢，他們賺的是什麼錢，他們所賺的，其實就是在許多精密計算(包含利率、機率等)之後的差額，當然保險是一個群體去分擔風險的工具，所以也有其存在的的必要性，只是在購買商品時，是有必要去計算到底什麼樣的服務才是自己最需要的，這也就是為什麼要理財規畫的原因之一了。

在這邊我用Excel把複利終值、複利現值、年金終值、年金現值的快速查表及速算表整理在一起，如果有需要，也歡迎大家下載使用。
終值現值表.xls

Update 2007/11/03

今天在念其他相關書籍的時候，又發現了複利與年金之間，也是存在著一些關係的，就如同以下：

。複利現值 Ｘ 複利終值 ＝ 1 (兩者互為倒數)
。年金現值 Ｘ 複利終值 ＝ 年金終值
。年金終值 Ｘ 複利現值 ＝ 年金現值

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